Jacobiho domněnka, jeden z dlouho otevřených problémů algebraické geometrie, neplatí pro polynomiální zobrazení tří a více proměnných. Ukazuje to konkrétní příklad, který 19. července 2026 zveřejnil matematik Levent Alpöge. V oznámení uvedl, že při hledání příkladu mu pomohl model Claude Fable 5 společnosti Anthropic. Samotný matematický výsledek však nestojí na důvěře v jazykový model: vlastnosti zveřejněného zobrazení lze přímo přepočítat a byly také nezávisle formálně ověřeny.
Domněnku formuloval Ott-Heinrich Keller v roce 1939. Týká se polynomiálních zobrazení, tedy funkcí sestavených z konečného počtu sčítání a násobení proměnných. Předpokládala, že pokud má takové zobrazení z komplexního prostoru do sebe Jacobiho determinant nenulový a všude stejný, musí mít také polynomiální inverzi. Jacobiho determinant je determinant matice parciálních derivací; nenulová hodnota znamená, že zobrazení se v malém okolí žádného bodu nezhroutí do nižšího rozměru.
Alpögeho příklad je zobrazení z trojrozměrného komplexního prostoru do sebe. Pro proměnné x, y a z používá pomocný výraz u = 1 + xy a jeho tři složky jsou u³z + y²u(4 + 3xy), dále y + 3xu²z + 3xy²(4 + 3xy) a nakonec 2x − 3x²y − x³z. Výpočet ukazuje, že Jacobiho determinant tohoto zobrazení je ve všech bodech roven −2. Splňuje tedy přesně podmínku, která měla podle domněnky zaručit globální vratnost.
Rozhodující je, že zobrazení není prosté: různé vstupy mohou dát stejný výstup. Konkrétně body (0, 0, −1/4), (1, −3/2, 13/2) a (−1, 3/2, 13/2) se všechny zobrazí do bodu (−1/4, 0, 0). Funkce, která tři různé body posílá do téhož výsledku, nemůže mít inverzi. Jde proto o přímý protipříklad k tvrzení domněnky ve třech proměnných, nikoli o neúplný důkaz založený jen na numerickém výpočtu.
Nezávislé kontroly
Výsledek následně ověřili další autoři prostředky formální matematiky. Záznam v Archive of Formal Proofs popisuje nezávislé ověření v systému Isabelle/HOL, který kontroluje jednotlivé logické kroky podle formálních pravidel. Autoři v něm prokázali jak identitu pro Jacobiho determinant, tak skutečnost, že uvedené tři racionální body mají stejný obraz. Podle jejich práce lze první složku zobrazení vhodně přenásobit tak, aby determinant byl přímo roven 1, aniž by se změnila jeho neprostota.
Další text zveřejněný na arXivu, „Counterexamples to the Jacobian conjecture in dimensions greater than two“, popisuje širší třídu podobných konstrukcí. Jeho autor Shuhong Gao uvádí, že z původního trojrozměrného protipříkladu lze odvodit příklady ve všech vyšších rozměrech. Formálně stačí k trojici původních polynomů připojit další souřadnice beze změny. Takové rozšířené zobrazení si zachová konstantní nenulový Jacobiho determinant i skutečnost, že není prosté.
Výsledek neřeší dvourozměrný případ. Právě otázka, zda každé polynomiální zobrazení komplexní roviny s konstantním nenulovým Jacobiho determinantem musí mít polynomiální inverzi, zůstává otevřená. Nový protipříklad proto neznamená, že byly uzavřeny všechny varianty původního problému, ale přesně vymezuje hranici: obecné tvrzení selhává od tří rozměrů výše.
Úloha modelu Claude Fable 5 se týká vzniku kandidátní formule, jak jej popsal Alpöge, nikoli nezávislého nahrazení matematického ověřování. V tomto případě lze rozhodující vlastnosti stručného polynomiálního příkladu kontrolovat symbolicky a formálně. To umožnilo oddělit otázku autorství či postupu hledání od samotné platnosti tvrzení, které je založeno na explicitně zapsaném zobrazení.
Zdroj: ScienceDaily
Tento článek byl vytvořen s pomocí umělé inteligence a redakčně zkontrolován.